题目

题型：潍坊模拟难度：来源：

已知一列非零向量

an

满足：

a1

=(x1，y1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）证明：{|

an

|}是等比数列；
（Ⅱ）求向量

a

n-1与

a

n的夹角(n≥2)；
（Ⅲ）设

a

1=(1，2)，把

a1

，

a2

，…，

an

，…中所有与

a1

共线的向量按原来的顺序排成一列，记为

b1

，

b2

，…，

.

bn

，…，令

OB

n=

b1

+

b2

+…+

bn

，0为坐标原点，求点列{B_n}的极限点B的坐标．
（注：若点B_n坐标为(tn，sn)，且

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}的极限点．）

答案

（I）|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

•

x 2n-1 + y 2n-1

=

2

2

|

a

n-1|，(n≥2)，首项|

a1

|=

x 21 + y 21

≠0，

| an |

| a n-1|

=

2

2

为常数，∴{|

an

|}是等比数列．
（II）

a

n-1•

a

n=(xn-1，yn-1)•

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=

1

2

(

x

2n-1

+

y

2n-1

)=

1

2

|

a

n-1|2，cos＜

a

n-1，

a

n＞=

a n-1• a n

| a n-1|| a n|

=

1 2 | a n-1|2

| a n-1|• 2 2 | a n-1|

=

2

2

，∴

a

n-1与

a

n的夹角为

π

4

．
（III）

a1

=(x1，y1)，

a2

=

1

2

(x1-y1，x1+y1)，

a3

=

1

4

(-2y1，2x1)=

1

2

(-y1，x1)，

a4

=

1

4

(-y1-x1，-y1+x1)，

a5

=

1

8

(-2x1，-2y1)=-

1

4

(x1，y1)，∴

a1

∥

a5

∥

a9

∥一般地，

b1

=

a1

，

b2

=

a5

，，

bn

=

a

4n-3，
用数学归纳法易证

b

n=

a

4n-3成立∴

b

n=(-

1

4

)n-1(x1，y1)．
设

OBn

=(tn，sn)则tn=[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2+…+(-

1

4

)n-1]x1=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，

lim

n→∞

tn=

4

5

；
sn=[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2+…+(-

1

4

)n-1]y1=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

•2=

8

5

[1-(-

1

4

)n]，

lim

n→∞

sn=

8

5

，
∴极限点B的坐标为(

4

5

，

8

5

)．