题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

已知｛a_n｝是正数组成的数列，a₁=1，且点（，a_n+1）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上。
（1）求数列｛a_n｝的通项公式；
（2）若列数｛b_n｝满足b₁=1，b_n+1=b_n+，求证b_n·b_n+2＜b_n+1²。

答案

解：（1）由已知得a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
又a₁=1
所以数列｛a_n｝是以1为首项，公差为1的等差数列
故a_n=1+（a-1）×1=n。
 （2）由（1）知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+···+（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+···+2+1
==2ⁿ-1
因为=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ-2ⁿ⁺²+1）-（2²ⁿ⁺²-2·2ⁿ⁺¹+1）=-2ⁿ＜0
∴b_n·b_n+2＜b_n+1²。