题目
题型:江苏模拟难度:来源:
1 |
Sn |
1 |
an |
1 |
an+1 |
(1)求证:数列Sn是等比数列;
(2)设an与an+2的等差中项为A,比较A与an+1的大小;
(3)设m是给定的正整数,a=2.现按如下方法构造项数为2m有穷数列bn:当k=m+1,m+2,…,2m时,bk=ak•ak+1;当k=1,2,…,m时,bk=b2m-k+1.求数列bn的前n项和为Tn(n≤2m,n∈N*).
答案
1 |
Sn |
1 |
an |
1 |
an+1 |
1 |
Sn-Sn-1 |
1 |
Sn+1-SN |
化简得Sn2=Sn-1Sn+1(n≥3),又由a1=1,a2=a-1得
1 |
a |
1 |
a-1 |
1 |
a3 |
解得a3=a(a-1),∴S1=1,S2=a,S3=a2,也满足Sn2=Sn-1Sn+1,而Sn恒为正值,
∴数列{Sn}是等比数列.(4分)
(2)Sn的首项为1,公比为a,Sn=an-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-2,
∴an=
|
当n=1时,A-an+1=
a1+a3 |
2 |
a2-3a+3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
8 |
当n≥2时,A-an+1=
an+an+2 |
2 |
(a-1)an-2+(a-1)an |
2 |
(a-1)an-2(a2-2a+1) |
2 |
(a-1)3an-2 |
2 |
∵Sn恒为正值∴a>0且a≠1,
若0<a<1,则A-an+1<0,若a>1,则A-an+1>0.
综上可得,当n=1时,A>an+1;
当n≥2时,若0<a<1,则A<an+1,
若a>1,则A>an+1.(10分)
(3)∵a=2∴an=
|
若n≤m,n∈N*,则由题设得b1=b2m,b2=b2m-1,bn=b2m-n+1
Tn=b1+b2+…+bn=b2m+b2m-1+…+b2m-n+1
=24m-3+24m-5++24m-2n-1=
24m-3(1-4-n) |
1-4-1 |
24m-1(1-2-2n) |
3 |
若m+1≤n≤2m,n∈N*,则Tn=bm+bm+1+bm+2+…+bn=
24m-1(1-2-2m) |
3 |
=
24m-1(1-2-2m) |
3 |
22m-1(1-4n-m) |
1-4 |
22m-1(22m-1) |
3 |
综上得Tn=
|
核心考点
试题【已知数列an中,a1=1,a2=a-1(a≠1,a为实常数),前n项和Sn恒为正值,且当n≥2时,1Sn=1an-1an+1.(1)求证:数列Sn是等比数列;(】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.156 | B.52 | C.26 | D.13 |
1 |
2 |
(I)求q的值
(II)若数列bn满足bn=an+n,求数列bn的前n项和Tn.
22π |
3 |
an2 |
4 |
(1)求{an}的表达式;
(2)将数列{an}依次按1项,2项,3项循环地分为(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7),(a8,a9),(a10,a11,a12),
…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn},求b2010的值;
(3)如果将数列{an}依次按1项,2项,3项,…,m(m≥3)项循环;分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn},提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若bn=an f (an),且数列{bn}的前n项和为Sn,当m=3时,求Sn;
(3)若cn=f(an)lgf (an),问是否存在m,使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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