题目

题型：上海模拟难度：来源：

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与an+1(n∈N*)之间插入n个1，构成如下的新数列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求这个数列的前2012项的和；
（3）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设a_n=a₁q^n-1，
由a_n+1=2S_n+2，知

a1q=2a1+2 a1q2=2(a1+a1q)+2

，
解得

a1=2 q=3

，
故a_n=2×3^n-1…（6分）
（2）依题意，到a_n为止，新的数列共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

项，
令

n(n+1)

2

=2012，
得n=

-1+ 1+4024×4

2

≈62.9，
即到a₆₂为止，新的数列共有1+2+3+4+…+62=

62(62+1)

2

=1953项，
故该数列的前2012项的和为：
a₁+a₂+…+a₆₂+1+2+3+…+61+=

2×(1-362)

1-3

+1950=3⁶²+1949．
（3）依题意，d_n=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，
A_n=

(2×3n+2×3n-1)(n+2)

2

=4（n+2）×3^n-1，
要使A_n=g（n）d_n，
则4（n+2）×3^n-1=g（n）×

4×3n-1

n+1

，
∴g（n）=（n+2）×（n+1）=n²+3n+2，
即存在g（n）=n²+3n+2满足条件．