已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan(k>0,n∈N*). (1)用n、k表示an; (2)数列{bn}对n∈N*均有(bn+1-bn+2)lga1+(bn+2-bn)lga3+(bn-bn+1)lga5=0,求证:数列{bn}为等差数列; (3)在(1)、(2)中,设k=1,bn=n+1,xn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求证:xn<3. |
(1)∵Sn=1-kan, ∴S1=a1=1-ka1, ∴a1= ∴an+1=Sn+1-Sn=(1-kan+1)-(1-kan), ∴an+1=kan-kan+1,即 (k+1)an+1=kan, ∵kk≠1解得an+1=an(1) ∵k>0,a1≠0,由(1)式易知an≠0,n≥1, ∴= 故该数列是公比为,首项为的等比数列, ∴an=×()n-1. 证明:(2)∵(bn+1-bn+2)lga1+(bn+2-bn)lga3+(bn-bn+1)lga5=0, ∴(bn+1-bn+2)lg+(bn+2-bn)lg[(×()2]+(bn-bn+1)lg[(×()4]=0…① 令lg=m,lg=n,则m,n均不为0 则①式可化为m(bn+1-bn+2)+(m+2n)(bn+2-bn)+(m+4n)(bn-bn+1)=0 即bn+2+bn=2bn+1, 即数列{bn}为等差数列; (3)若k=1,an=×()n-1=()n, 又∵bn=n+1, ∴xn=×2+()2×3+()3×4+…+()n(n+1)…①, ∴xn=()2×2+()3×3+…+()nn+()n+1(n+1)…② ①-②得xn=1+[()2+()3+…+()n]-()n+1(n+1)=-()n ∴xn=3-(n+3)()n ∵(n+3)()n>0 ∴xn<3 |
核心考点
试题【已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan(k>0,n∈N*).(1)用n、k表示an;(2)数列{bn}对n∈N*均有(bn+1-bn+2)lga1+(bn+】;主要考察你对
等差数列等知识点的理解。
[详细]
举一反三
老师在黑板上按顺序写了4个数构成一个数列,四个同学各指出这个数列的一个特征: 张三说:前3项成等差数列;李四说:后3项成等比数列; 王五说:4个数的和是24;马六说:4个数的积为24; 如果其中恰有三人说的正确,请写出一个这样的数列______. |
在等差数列{an}中,a6=a3+a8,则S9=( ) |
若Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和,且S4,S6,S5成等差数列,则公比q=______. |
数列{an}中,a1=3,nan+1-(n+1)an=2n(n+1) (1)求证{}为等差数列,并求通项公式an; (2)设bn=(an-2n2)•3n,求数列{bn}的前n项和Sn. |
若两个等差数{an},{bn}的n项和分别为An,Bn,且=,则的值是( ) |