题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}，首项a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列，并求公差；
（2）求{a _n }的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在自然数k₀，使得当自然数k≥k₀时使不等式a_k＞a_k+1对任意大于等于k的自然数都成立，若存在求出最小的k值，否则请说明理由．

答案

（1）．由已知当n≥2时2a_n=S_n•S_n-1得：2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1（n≥2）⇒

1

Sn

-

1

Sn-1

= -

1

2

（n≥2）⇒{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=

1

3

为首项，公差d=-

1

2

的等差数列．
（2）．∵

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)d=

1

3

+(n-1)(-

1

2

)=

5-3n

6

，Sn=

6

5-3n

(n≥ 2)
从而an=

1

2

Sn•Sn-1=

18

(3n-5)(3n-8)

，
∴an=

3  (n=1) 18 (3n-5)(3n-8)

(n≥2)
（3）.

令ak-ak+1＞0，即(3k-2)(3k-5)(3k-8)＞0，可得 2 3 ＜k＜ 5 3 或k＞ 8 3 ．故只需取k=3，则对 大于或等于3的一切自然数总有ak＞ak+1成立，这样的自然数存在最小值3.