题目

题型：浙江模拟难度：来源：

已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足an=

Sn

+

sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求证：{

Sn

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*，不等式4T_n＜a²-a恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（I）∵an=

Sn

+

sn-1

∴sn-sn-1=

sn

+

sn-1

∴

sn

-

sn-1

=1
∴数列{

sn

}是首项为1，公差为1的等差数列
∴

sn

=1+(n-1)=n
∴sn=n2
∴an=

sn

+

sn-1

=n+n-1=2n-1（n≥2）
当n=1时，a₁=1也适合
∴a_n=2n-1
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

∴T_n＜

1

2

∵4T_n＜a²-a恒成立
∴2≤a²-a，解得a≥2或a≤-1