题目

题型：不详难度：来源：

已知等差数列{a_n}的前n项和S_n,且对于任意的正整数n满足=a_n+1.
(1)求数列{a_n}的通项公式;
(2)设b_n=,求数列{b_n}的前n项和B_n.

答案

(1)数列{a_n}是首项为1公差为2的等差数列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2) b_n==(-).
∴B_n==(1-).

解析

(1)∵对于任意的正整数n,=a_n+1①恒成立,
当n=1时,=a₁+1,即(-1)²=0,
∴a₁=1.
当n≥2时,有=a_n-1+1②,
①²-②²得4a_n=+2a_n-2a_n-1,
即(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0.
∵a_n＞0,∴a_n+a_n-1＞0.
∴a_n-a_n-1=2.
∴数列{a_n}是首项为1公差为2的等差数列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵a_n=2n-1,
∴b_n==(-).
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n
=［(1-)+(-)+…+(-)］
=(1-).