题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）
设各项均为正数的数列{a_n}满足.
（Ⅰ）若求a₃,a₄,并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）；
（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a₂的值。

答案

（Ⅰ）见解析。
（Ⅱ）

解析

本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识，考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。
（I）因

由此有，故猜想的通项为

从而
(Ⅱ)令x_n=log₂a_n.则，故只需求x₂的值。
设S_n表示x_n的前n项和，则a₁a₂…a_n=,由2≤a₁a₂…a_n＜4得
≤S_n＝x₁+x₂+…+x_n＜2    (n≥2).
因上式对n=2成立，可得≤x₁+x₂，又由a₁=2,得x₁＝1,故x₂≥.
由于a₁=2，(n∈N*),得(n∈N*),即
，
因此数列｛x_n+1+2x_n｝是首项为x₂+2,公比为的等比数列，故
x_n+1+2x_n=(x₂+2) (n∈N*).
将上式对n求和得
S_n+1－x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2－)（n≥2）.
因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1,故
(x₂+2)(2－)＜5（n≥2）.
因此（n≥2）.
下证x₂≤，若不然，假设x₂＞，则由上式知，不等式
2^n－1＜
对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x₂≤.
又x₂≥，故x₂=，所以