题目

题型：不详难度：来源：

数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．
（1）求数列的通项公式； 
（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，和任意正整数，总有
（3）正数数列中，求数列中的最大项．

答案

（1）（2）略（3）

解析

（1）由已知，对于任意，总有  ①成立
所以 ②…………（1分）
①-②得，

均为正数，
数列是公差为1的等差数列…………（3分）
又时，，解得
…………（5分）
（2）证明：对任意实数是常数，和任意正整数，总有
，…………（6分）

…………（9分）
（3）由已知

易得
猜想时，是递减数列…………（10分）
令
则，当时，则，
在内，为单调递减函数，…………（12分）
由知
时，是递减数列，即是递减数列，…………（１3分）
又数列中的最大项为．…………（１4分）