题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分16分） 一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f(i,j)．

(1)若数表中第i (1≤i≤n－3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列；
(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)关于i的表达式；
(3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(a_i－1)，b_i= ，试求一个函数g(x)，使得
S_n=b₁g(1)+b₂g(2)+…+b_ng(n)＜，且对于任意的m∈(,)，均存在实数，使得当时，都有S_n >m.

答案

(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为，则由题意可得
 
(其中为第行数所组成的数列的公差) ． 
(2) ．
(3) ．

解析

(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为，则由题意可得
 
(其中为第行数所组成的数列的公差) ． 
(2)，第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列.
设第行的数公差为,则，则
所以

．            
(3)由，可得
所以= 
令,则,所以    
要使得，即，只要=，
，，所以只要,
即只要,所以可以令
则当时，都有．所以适合题设的一个函数为．