题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）已知等比数列{a_n}满足a₁+a₆=11，且a₃a₄=.
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）如果至少存在一个自然数m，恰使，，a_m+1+这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{a_n}是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.

答案

（1）a_n=×2^6-n或a_n=·2^n-1. （2）满足条件的等比数列存在，且有a_n=·2^n-1

解析

（1）由题意得
∴a_n=×2^6-n或a_n=·2^n-1.
（2）对a_n=·2^n-1，若存在题设要求的m，则
2（·2^m-1）²=··2^m-2+·2^m+.
∴（2^m）²-7·2^m+8=0.
∴2^m=8，m=3.
对a_n=·2^6-n，若存在题设要求的m，同理有（2^6-m）²-11·2^6-m-8=0.
而Δ=11²+16×8不是完全平方数，故此时所需的m不存在.
综上所述，满足条件的等比数列存在，且有a_n=·2^n-1.