题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在y轴的正半轴上依次有点A₁,A₂,…,A_n,…，A₁,A₂的坐标分别为(0,1),(0,10)，且(n=2,3,4,…). 在射线y=x(x≥0)上依次有点B₁,B₂,…,B_n,…，点B₁的坐标为(3,3)，且(n=2,3,4,…).
(1)用含n的式子表示；
(2)用含n 的式子分别表示点A_n、B_n的坐标；
(3)求四边形面积的最大值.

答案

（1）∴ =     
（2）∴点A_n的坐标，∴B_n的坐标为（2n+1，2n+1）   
3）∴ S_n的最大值为．     

解析

（1）由，(n=2,3,4,…)， 知(n=2,3,4,…)，组成以9为首项，3为公比的等比数列，所以=；
（2）因为，由（1）和在y轴的正半轴上依次有点A₁,A₂,…,A_n,…，得，
即点A_n的坐标；由，
得{|OB_n|}是以为首项，为公差的等差数列；利用等差数列的通项公式得
，即得B_n的坐标；（3）把四边形面积分成两个三角形的面积的差，根据三角形的面积公式和（2）可求得，研究数列的单调性得到最大值.
（1）∵，
∴ =           ……………………………………4分
（2）由（1）得
∴点A_n的坐标， ……………………………………6分
∵，
∵{|OB_n|}是以为首项，为公差的等差数列
∴
∴B_n的坐标为（2n+1，2n+1）    ……………………………………10分
（3）连接A_n+1B_n+1，设四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积为S_n，

∴ ，即S_n+1＜S_n，
∴ {S_n} 单调递减数列 
∴ S_n的最大值为．