题目
题型:不详难度:来源:
(1)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项可减数
列”,试确定的最大值;
(2)求证:若数列是“项可减数列”,则其前项的和;
(3)已知是各项非负的递增数列,写出(2)的逆命题,判断该逆命题的真假,
并说明理由.
答案
解析
易得,即数列一定是“2项可减数列”.
(2)因为数列是“项可减数列”,
所以必定是数列中的项.
而是递增数列,故,
所以必有,,
是解决本小题的关键.
(3) 的逆命题为:
已知数列为各项非负的递增数列,若其前项的和满足,
则该数列一定是“项可减数列”,该逆命题为真命题.
证明要注意利用≤≤,求出的通项公式.
(1)设,则,
易得,即数列一定是“2项可减数列”,
但因为,所以的最大值为2. ………………5分
(2)因为数列是“项可减数列”,
所以必定是数列中的项, ………………………7分
而是递增数列,故,
所以必有,,
则
,
所以,即.
又由定义知,数列也是“项可减数列”,
所以. ……………………………10分
(3)(2)的逆命题为:
已知数列为各项非负的递增数列,若其前项的和满足,
则该数列一定是“项可减数列”,该逆命题为真命题.……………………12分
理由如下:因为≤≤,所以当≥时,,
两式相减,得,即 ()
则当时,有()
由()-(),得,
又,所以,故数列是首项为0的递增等差数列.
设公差为,则,
对于任意的≤≤≤,,
因为≤,所以仍是中的项,
故数列是“项可减数列”.
核心考点
试题【已知数列单调递增,且各项非负,对于正整数,若任意的,(≤≤≤),仍是中的项,则称数列为“项可减数列”.(1)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)写出、、;
(2)求出点()的横坐标关于的表达式并证明.
A.3 | B.4 | C.6 | D.12 |
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