题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1,
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
答案
解析
(2) ①由(1)已得当n=1时,命题成立;……8分
②假设n=k时,命题成立,即 ak=2-, ……10分
当n=k+1时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+……+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
∴2ak+1=2+2-, ak+1=2-, 即当n=k+1时,命题成立. ……15分
根据①②得n∈N+ , an=2-都成立 ……16分
思路分析:第一问利用Sn+an=2n+1,递推得到a1=, a2=, a3=, 猜测 an=2-
第二问中,1)已得当n=1时,命题成立;
②假设n=k时,命题成立,即 ak=2-,当n=k+1时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+……+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
∴2ak+1=2+2-, ak+1=2-
综上可知成立。
核心考点
试题【(本题满分16分)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;(2) 用数学归纳法证明所得的结论。】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)是否存在,使得是数列中的项?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
⑴求的值;
⑵猜想的通项公式,请证明你的猜想.
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