题目
题型:不详难度:来源:
,其中a为常数,k为非零常数.
(Ⅰ)令,证明数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)当时,求.
答案
(Ⅱ)数列的通项公式为 ,
(Ⅲ)当时,
解析
(1)由题意知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),由此可知an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1.
(2)由b1=a2-a1≠0,知b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.因此bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1(a2-a1)≠0,由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列.
(3){an}是等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1);先进行充分性证明:若f(x)=kx(k≠1),则{an}是等比数列.再进行必要性证明:若{an}是等比数列,f(x)=kx(k≠1).
(Ⅰ)证明:由,可得
.由数学归纳法可证
.
由题设条件,当时
因此,数列是一个公比为k的等比数列.
(Ⅱ)解:由(1)知,
当时,
当时, .
而
所以,当时, .上式对也成立. 所以,数列的通项公式为. 当时
。上式对也成立,所以,数列的通项公式为 ,
(Ⅲ)解:当时,
核心考点
举一反三
(I)求,,,;
(II)求数列的前项和;
(Ⅲ)记,,
求证:.
A. | B. |
C. | D. |
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
⑴求{yn}的通项公式,且证明{yn}是等差数列;
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明),并求出数列{xn}的通项公式;
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在, 请说明理由.
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