题目

题型：不详难度：来源：

设数列：，即当时，记.记. 对于，定义集合是的整数倍，，且.
（1）求集合中元素的个数；
（2）求集合中元素的个数.

答案

（1）2     （2）1008

解析

（1）由数列的定义，得，，， ，，，，，，，，∴，，，，
，，， ，，，
∴，，，，，
∴集合中元素的个数为5.
（2）先证：，
事实上，①当时，，，原等式成立；
②当时成立，即，
则时，
，
综合①②可得，于是，
，
由上式可知是的倍数，而，
∴是的倍数，
又不是的倍数，
而，
∴不是的倍数，
故当时，集合中元素的个数为，
于是，当时，集合中元素的个数为，
又，故集合中元素的个数为.
【考点定位】本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.