题目

题型：不详难度：来源：

已知n∈N^*，数列{d_n}满足d_n＝，数列{a_n}满足a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n，又知在数列{b_n}中，b₁＝2，且对任意正整数m，n，.
(1)求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
(2)将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前2 013项和．

答案

(1) a_n＝3n, b_n＝2ⁿ. (2)

解析

(1)d_n＝，∴a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n＝＝3n.
又由题知：令m＝1，则b₂＝＝2²，b₃＝＝2³，…b_n＝＝2ⁿ，若b_n＝2ⁿ，，则＝2^nm，＝2^mn，所以恒成立．
若b_n≠2ⁿ，当m＝1，不成立，所以b_n＝2ⁿ.
(2)由题意知将数列{b_n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c_n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b₁＝2，b₂＝4公比均是8.
∴T_{2 013}＝(c₁＋c₃＋c₅＋…＋c_{2 013})＋(c₂＋c₄＋c₆＋…＋c_{2 012})＝＋＝.