题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n＋a_n＋ ^n－1＝2(n∈N^*)，设c_n＝2ⁿa_n.
(1)求证：数列{c_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．
(2)按以下规律构造数列{b_n}，具体方法如下：
b₁＝c₁，b₂＝c₂＋c₃，b₃＝c₄＋c₅＋c₆＋c₇，…，第n项b_n由相应的{c_n}中2^n－1项的和组成，求数列{b_n}的通项b_n. 

答案

(1)  (2)

解析

(1)证明:在S_n＋a_n＋ ^n－1＝2①中，令n＝1，得S₁＋a₁＋1＝2，∴a₁＝
当n≥2时，S_n－1＋a_n－1＋ ^n－2＝2，②
①－②得a_n＋a_n－a_n－1－ ^n－1＝0(n≥2)，
∴2a_n－a_n－1＝，∴2ⁿa_n－2^n－1a_n－1＝1.
又c_n＝2ⁿa_n，∴c_n－c_n－1＝1(n≥2)．
又c₁＝2a₁＝1，所以，数列{c_n}是等差数列．
于是c_n＝1＋(n－1)×1＝n，又∵c_n＝2ⁿa_n，∴a_n＝.
(2)解:由题意得
b_n＝c_2n－1＋c_2n－1＋1＋c_2n－1＋2＋…＋c_2n－1＝2^n－1＋(2^n－1＋1)＋(2^n－1＋2)＋…＋(2ⁿ－1)，而2^n－1,2^n－1＋1,2^n－1＋2，…，2ⁿ－1是首项为2^n－1，公差为1的等差数列，且共有2^n－1项，所以，b_n＝＝＝