题目

题型：不详难度：来源：

已知无穷数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为数列{a_n}的前n项和．
(1)若数列{a_n}是等差数列，且对任意正整数n都有S_n3＝(S_n)³成立，求数列{a_n}的通项公式；
(2)对任意正整数n，从集合{a₁，a₂，…，a_n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a₁，a₂，…，a_n一起恰好是1至S_n全体正整数组成的集合．
(ⅰ)求a₁，a₂的值；
(ⅱ)求数列{a_n}的通项公式．

答案

（1）a_n＝1或a_n＝2n－1（2）a₁＝1，a₂＝3，a_n＝3^n－1

解析

(1)设无穷等差数列{a_n}的公差为d，因为S_n3＝(S_n)³对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：
因为数列{a_n}的各项均为正整数，所以d≥0.
可得a₁＝1，d＝0或d＝2.(4分)
当a₁＝1，d＝0时，a_n＝1，S_n3＝(S_n)³成立；
当a₁＝1，d＝2时，S_n＝n²，所以S_n3＝(S_n)³.
因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a_n＝1或a_n＝2n－1.(6分)
(2)(ⅰ)记A_n＝{1,2，…，S_n}，显然a₁＝S₁＝1.(7分)
对于S₂＝a₁＋a₂＝1＋a₂，有A₂＝{1,2，…，S_n}＝{1，a₂，1＋a₂，|1－a₂|}＝{1,2,3,4}，
故1＋a₂＝4，所以a₂＝3.(9分)
(ⅱ)由题意可知，集合{a₁，a₂，…，a_n}按上述规则，共产生S_n个正整数．(10分)
而集合{a₁，a₂，…，a_n，a_n＋1}按上述规则产生的S_n＋1个正整数中，除1,2，…，S_n这S_n个正整数外，还有a_n－1，a_n＋1＋i，|a_n＋1－i|(i＝1,2，…，S_n)，共2S_n＋1个数．
所以，S_n＋1＝S_n＋(2S_n＋1)＝3S_n＋1.(12分)
又S_n＋1＋＝3 ，所以S_n＝·3^n－1－＝·3ⁿ－.(14分)
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝·3ⁿ－－＝3^n－1.(15分)
而a₁＝1也满足a_n＝3^n－1.
所以，数列{a_n}的通项公式是a_n＝3^n－1.(16分)