设正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．(1)求{an}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和{

}都是等差数列，且公差相等．
(1)求{a_n}的通项公式；
(2)若a₁，a₂，a₅恰为等比数列{b_n}的前三项，记数列c_n＝

，数列{c_n}的前n项和为T_n.求证：对任意n∈N^*，都有T_n<2.

答案

(1) a_n＝

(2)见解析

解析

解：(1)设{a_n}的公差为d，
则

＝

·n，且a₁－

＝0.
又d＝

，所以d＝

，
a₁＝

＝

，a_n＝

.
(2)证明：易知b_n＝

×3ⁿ^－1，
∴c_n＝

.
当n≥2时，

＝

－

，
∴当n≥2时，T_n＝

＋

＋…＋

＋

＋…＋

－

＝2－

<2，且T₁＝

<2，
故对任意n∈N^*，都有T_n<2.

核心考点

试题【设正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．(1)求{an}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足b₁＝a₁，b_n＝a_n＋a_n_－1，n≥2，n∈N^*，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”．
(1)若数列{a_n}的通项为a_n＝n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式；
(2)若数列{c_n}的通项为c_n＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{c_n}的“生成数列”{q_n}是否是等差数列，请说明理由；
(3)已知数列{d_n}的通项为d_n＝2ⁿ＋n，求数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和T_n.

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若数列{a_n}是等差数列，则数列{b_n}b_n＝

也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c_n}是等比数列，且{d_n}也是等比数列，则d_n的表达式应为(　　)

A．d_n＝	B．d_n＝
C．d_n＝	D．d_n＝

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如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a₁，a₂，a₃，…，若a_n＝2 013，则n＝(　　)

A．50	B．51
C．52	D．53

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已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂＋a₃＋a₄＝－18.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得S_n≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

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在数列{a_n}中，a_n_＋1＝ca_n(c为非零常数)，前n项和为S_n＝3ⁿ＋k，则实数k的值为(　　)

A．－1	B．0
C．1	D．2

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