题目

题型：不详难度：来源：

（12分）已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.
(1)求,的值;
(2)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.

答案

（1） 
(2),n=7时,T_n取得最大值,且T_n的最大值为 T₇= 

解析

(1)令n=1则
再令n=2可得然后两方程联立可解得,的值.
(2)在（1）的基础上，可知
再根据 , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1
所以a_n= ,
据此可知{a_n}是等比数列，因而,
所以,所以可知数列{b_n}是以为公差,且单调递减的等差数列.然后根据b_n>0可解出n的范围，从而确定T_n的最大值.
取n=1,得    ①
取n=2,得    ②
又②-①,得       ③
(1)若a₂="0," 由①知a₁=0, 
(2)若a_2,   ④
由①④得: 
(2)当a₁>0时,由(I)知, 
当 , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1
所以,a_n= 
所以 
令 
所以,数列{b_n}是以为公差,且单调递减的等差数列.
则 b₁>b₂>b₃>>b₇= 
当n≥8时,b_n≤b₈= 
所以,n=7时,T_n取得最大值,且T_n的最大值为
T₇=