题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:数列为等差数列,并求的通项公式;
(Ⅱ)设, 求数列的前项和 ;
(Ⅲ)设(为非零整数,),试确定的值,使得对任意,有恒成立.
答案
(Ⅲ)存在,使得对任意,都有.
解析
试题分析:(1)利用数列的前n项和与通项an之间的关系,求出该数列的通项公式是解决本题的关键;注意分类讨论思想的运用;
(2)利用第一问中所求的公式表示出数列{bn}的通项公式,根据数列的通项公式选择合适的方法----错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn.
(3)要使得即为,对于n分为奇数和偶数来得到。
解:(Ⅰ)由已知,(,),
即(,),且.
∴数列是以为首项,公差为1的等差数列.∴. …………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 它的前项和为
(Ⅲ)∵,∴,
∴恒成立,
∴恒成立.
(ⅰ)当为奇数时,即恒成立当且仅当时,有最小值为1,∴.
(ⅱ)当为偶数时,即恒成立当且仅当时,有最大值,∴.即,又为非零整数,则.
综上所述,存在,使得对任意,都有.…………14分n之间的关系,考查等差数列的判定,考查学生分类讨论思想.运用数列的通项公式选取合适的求和方法求出数列{bn}的前n项和,体现了化归思想.
点评:解决该试题的关键是能将已知中前n项和关系式,通过通项公式与前n项和的关系得到通项公式的求解,并合理选用求和方法得到和式。
核心考点
试题【(本题满分14分)已知数列中,,,其前项和满足(,).(Ⅰ)求证:数列为等差数列,并求的通项公式;(Ⅱ)设, 求数列的前项和 ;(Ⅲ)设(为非零整数,),试确定】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知是首项为,公差为的等差数列,为的前项和.
(I)求通项及;
(II)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.
已知数列为等差数列,公差,是数列的前项和, 且.
(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.
若等差数列的前项和为,且满足为常数,则称该数列为数列.
(1)判断是否为数列?并说明理由;
(2)若首项为且公差不为零的等差数列为数列,试求出该数列的通项公式;
(3)若首项为,公差不为零且各项为正数的等差数列为数列,正整数满足,求的最小值
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