题目
题型:不详难度:来源:
(理)对于数列,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题. 为此,他任取了其中三项.
(1) 若成等比数列,求之间满足的等量关系;
(2) 他猜想:“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”,为此,他研究了与的大小关系,请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确;
(3) 他又想:在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列?请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.
答案
解析
试题分析:(1)由已知可得:, 1分
则,即有, 3分
,化简可得. . 4分
(2) ,又,
故 , 6分
由于是正整数,且,则,
又是满足的正整数,则,
,
所以,> ,从而上述猜想不成立. 10分
(3)命题:对于首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列,总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列. 13分
此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一: 只要证明对任意正整数n,都在数列{an}中.因为bn=a(1+d)n=a(1+d+d2+…+dn)=a(Md+1),这里M=+d+…+dn-1为正整数,所以a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1项,证毕. 18分
证法二:首项为,公差为( )的等差数列为,考虑数列中的项:
依次取数列中项,,
,则由,可知,并由数学归纳法可知,数列为的无穷等比子数列. 18分
点评:此题考查了等差数列的性质即通项公式,同时本题属于新定义及结论探索性问题,这类试题的一般解法是:充分抓住已知条件,找准问题的突破点,由浅入深,多角度、多侧面探寻,联系符合题设的有关知识,合理组合发现新结论,围绕所探究的结论环环相扣,步步逼近发现规律,得出结论.熟练掌握公式及性质是解本题的关键.
核心考点
试题【(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分8分.(理)对于数列,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:,();
(2)设,求数列的通项公式;
(3)设数列的前项和为,数列的前项和为,数列的前项和为,求证:.
②若,则
③已知函数,若存在,使得成立,则
④在中,分别是角A、B、C的对边,若则为等腰直角三角形
其中正确的有 (填上所有正确命题的序号)
已知数列是递增数列,且满足。
(1)若是等差数列,求数列的通项公式;
(2)对于(1)中,令,求数列的前项和。
A. | B. | C. | D. |
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和公式.
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