题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)已知是首项为2,公差为1的等差数列,若是数列的“保三角形函数”,求k的取值范围;
(Ⅱ)已知数列的首项为2010,是数列的前n项和,且满足,证明是“三角形”数列;
(Ⅲ)根据“保三角形函数”的定义,对函数,,和数列1,,,()提出一个正确的命题,并说明理由.
答案
③是三角形数列.由于,是单调递减函数,所以,解得.
解析
试题分析:(1)显然,对任意正整数都成立,
即是三角形数列. 2分
因为k>1,显然有,由得,解得.
所以当时,是数列的“保三角形函数”. 5分
(2)由得,两式相减得
所以,,
经检验,此通项公式满足 7分
显然,因为,
所以 是“三角形”数列. 10分
(3)探究过程: 函数,是数列1,1+d,1+2d 的“保三角形函数”,必须满足三个条件:
①1,1+d,1+2d是三角形数列,所以,即.
②数列中的各项必须在定义域内,即.
③是三角形数列.
由于,是单调递减函数,所以,解得.
点评:本题是在新定义下对数列的综合考查.关于新定义的题型,在作题过程中一定要理解定义,并会用定义来解题.
核心考点
试题【定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称为“三角形”数列.对于“三角形”数列,如果函数使得仍为一个“三角形”数列,则称是数列的“保三角形函数】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)设,证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前项和;
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:数列是等差数列;
(Ⅲ)设数列满足,求的前n项和.
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