题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}的前n项和为S_n＝2a_n－2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
(2)求证： <5.

答案

（1）b_n＝3n－1（2）见解析

解析

(1)当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(2a_n－2)－(2a_n－1－2)＝2a_n－2a_n－1，得a_n＝2a_n－1.
又由a₁＝S₁＝2a₁－2，得a₁＝2，所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ.
b₁＝a₁＝2，设公差为d，则由b₁，b₃，b₁₁成等比数列，得(2＋2d)²＝2×(2＋10d)，
解得d＝0(舍去)或d＝3，
所以数列{b_n}的通项公式为b_n＝3n－1.，
(2)证明：令T_n＝＝，①
2T_n＝2＋，②
②－①得
T_n＝2＋，
所以T_n＝，
又 >0，故T_n<5.