题目

题型：不详难度：来源：

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列,且a₁+a₂=2(+),a₃+a₄+a₅=64(++),
(1)求{a_n}的通项公式.
(2)设b_n=(a_n+)²,求数列{b_n}的前n项和T_n.

答案

(1) a_n=2^n-1   (2) T_n=(4ⁿ-4^1-n)+2n+1.

解析

【思路点拨】(1)设出公比根据条件列出关于a₁与q的方程组求得a₁与q,即可求得数列的通项公式.
(2)由(1)中求得数列的通项公式,可求出{b_n}的通项公式,由其通项公式可知分开求和即可.
解：(1)设公比为q,则a_n=a₁q^n-1.由已知得

化简得
又a₁>0,故q=2,a₁=1,所以a_n=2^n-1.
(2)由(1)得b_n=(a_n+)²=+2+
=4^n-1++2.
所以T_n=(1+4+…+4^n-1)+(1++…+)+2n
=++2n
=(4ⁿ-4^1-n)+2n+1.