题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n对一切正整数都成立．
(1)求a₁，a₂的值；
(2)设a₁＞0，数列前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出最大值．

答案

（1）a₁＝0，a₂＝0或a₁＝＋1，a₂＝＋2或a₁＝1－，a₂＝2－.（2）n＝7时，T_n取得最大值，T₇＝7－lg2.

解析

(1)取n＝1时，a₂a₁＝S₂＋S₁＝2a₁＋a₂，①
取n＝2时，＝2a₁＋2a₂.②由②－①得，a₂(a₂－a₁)＝a₂.③
若a₂＝0，由①知a₁＝0；若a₂≠0，由③知a₂－a₁＝1.④
由①④解得a₁＝＋1，a₂＝2＋或a₁＝1－，a₂＝2－.
综上所述，a₁＝0，a₂＝0或a₁＝＋1，a₂＝＋2或a₁＝1－，a₂＝2－.
(2)当a₁＞0时，a₁＝＋1，a₂＝＋2.
n≥2时，有(2＋)a_n＝S₂＋S_n，(2＋)a_n－1＝S₂＋S_n－1，
∴(1＋)a_n＝(2＋)a_n－1，即a_n＝a_n－1(n≥2)，
∴a_n＝a₁()^n－1＝(＋1)()^n－1.令b_n＝＝1－lg2，
故{b_n}是递减的等差数列，从而b₁＞b₂＞…＞b₇＝lg＞lg1＝0，
n≥8时，b_n≤b₈＝lg＜lg1＝0，故n＝7时，T_n取得最大值，T₇＝7－lg2