题目

题型：不详难度：来源：

我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度．公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…，a_n是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁(1＋r)^n－1，第二年所交纳的储备金就变为a₂(1＋r)^n－2，…，以T_n表示到第n年所累计的储备金总额．
(1)写出T_n与T_n－1(n≥2)的递推关系式；
(2)求证：T_n＝A_n＋B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．

答案

（1）T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n(n≥2)（2）见解析

解析

(1)解：由题意可得：T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n(n≥2)．
(2)证明：T₁－a₁，对n≥2反复使用上述关系式，得
T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n＝T_n－2(1＋r)²＋a_n－1(1＋r)＋a_n＝…＝a₁(1＋r)^n－1＋a₂(1＋r)^n－2＋…＋a_n－1(1＋r)＋a_n，①
在①式两端同乘1＋r，得
(1＋r)T_n＝a₁(1＋r)ⁿ＋a₂(1＋r)^n－1＋…＋a_n－1(1＋r)²＋a_n(1＋r)，②
②－①，得rT_n＝a₁(1＋r)ⁿ＋d[(1＋r)^n－1＋(1＋r)^n－2＋…＋(1＋r)]－a_n＝[(1＋r)ⁿ－1－r]＋a₁(1＋r)ⁿ－a_n.
即T_n＝(1＋r)ⁿ－n－.
如果记A_n＝(1＋r)ⁿ，B_n＝－－n，则T_n＝A_n＋B_n.其中{A_n}是以(1＋r)为首项，以1＋r(r>0)为公比的等比数列；{B_n}是以－－为首项，以－为公差的等差数列