题目

题型：不详难度：来源：

正项数列{a_n}的前项和满足：－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)令b_n＝，数列{b_n}的前n项和为T_n.证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n<.

答案

（1）a_n＝2n（2）见解析

解析

(1)解：由－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0，
得[S_n－(n²＋n)](S_n＋1)＝0.
由于{a_n}是正项数列，所以S_n>0，S_n＝n²＋n.
于是a₁＝S₁＝2，n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋n－(n－1)²－(n－1)＝2n.
综上，数列{a_n}的通项a_n＝2n.
(2)证明：由于a_n＝2n，b_n＝，则b_n＝.
T_n＝
＝＝.
故对于任意的n∈N^*，都有T_n<.