题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:数列{an}中有无穷多项为无理数;
(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an<200的所有整数项的和.
答案
解析
(1)证明:由已知有:=1+24(n-1),
从而an=.
取n-1=242k-1,则an=(k∈N*).
用反证法证明这些an都是无理数.
假设an=为有理数,则an必为正整数,
且an>24k,故an-24k≥1,an+24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,
所以an=(k∈N*)都是无理数,
即数列{an}中有无穷多项为无理数.
(2)解:要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,
所以有an-1=6m或an+1=6m.
当an=6m+1时,有=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).
又m(3m+1)必为偶数,
所以an=6m+1(m∈N)满足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N)时,an为整数;
同理an=6m-1(m∈N*)时,有=36m2-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N*)也满足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N*)时,an为整数;
显然an=6m-1(m∈N*)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项,
所以当n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N*)时,an为整数.
由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,
由an=6m-1<200(m∈N*)有1≤m≤33.
设an中满足an<200的所有整数项的和为S,
则S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)= ×34+×33=6733.
核心考点
试题【正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{}成等差数列.(1)证明:数列{an}中有无穷多项为无理数;(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an<2】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.4 | B.9 | C.16 | D.25 |
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(2)若两省计划在3个月内完成新购目标,求m的最小值.
(1)求数列{}的通项公式;
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(1)求数列的通项公式;
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(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和
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