当前位置:高中试题 > 数学试题 > 等差数列 > 已知数列的各项均为正数,记,, .(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组...
题目
题型:不详难度:来源:
已知数列的各项均为正数,记,,
 .
(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.
(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.
答案
(1);(2)详见解析
解析

试题分析:(1)由三个数是等差数列,可得.根据定义可知即。变形为 ,由等差数列的定义可知,数列是首项为1,公差为4的等差数列。从而可得其通项公式。(2)若对于任意,三个组成公比为的等比数列,则,由将上式变形整理根据等比数列的定义可证得数列是公比为的等比数列;若数列是公比为的等比数列,则对任意,有.根据已知可证得,从而三个数组成公比为的等比数列.
解: (1)因为对任意,三个数是等差数列,
所以.                             1分
所以,                                        2分
.                                      3分
所以数列是首项为1,公差为4的等差数列.                   4分
所以.                                  5分
(2)(1)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则
.                       6分
所以    
.                                       7分
因为当时,由可得,                   8分
所以.
因为
所以.                                         
即数列是首项为,公比为的等比数列,                  9分
(2)必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意,有
.                                                 10分
因为
所以均大于.于是
                 11分
               12分
,所以三个数组成公比为的等比数列.   13分
综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.                  14分
核心考点
试题【已知数列的各项均为正数,记,, .(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列,则对任意正整数都成立的是(   )
A.B.
C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
如果数列同时满足:(1)各项均不为,(2)存在常数k, 对任意都成立,则称这样的数列为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问:
(1)各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”?说明理由.
(2)若数列为“类等比数列”,且(a,b为常数),是否存在常数λ,使得对任意都成立?若存在,求出λ;若不存在,请举出反例.
(3)若数列为“类等比数列”,且(a,b为常数),求数列的前n项之和;数列的前n项之和记为,求.
题型:不详难度:| 查看答案
对于正项数列,定义的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为,则数列的通项公式为________
题型:不详难度:| 查看答案
的公差大于零的等差数列,已知.
(1)求的通项公式;
(2)设是以函数的最小正周期为首项,以为公比的等比数列,求数列的前项和.
题型:不详难度:| 查看答案
已知等差数列中,,前项和,则等于(   )
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.