题目

题型：遂宁二模难度：来源：

已知向量a=(sinA，cosA)，b=(

3

-1)，a•b=1，且A为锐角．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f(x)=cos2x+4cosA•sinx，x∈[

π

6

，

7π

6

]的值域．

答案

（I）由题得：

a

•

b

=

3

sinA-cosA=1⇒2sin（A-

π

6

）=1⇒sin（A-

π

6

）=

1

2

．
由A为锐角得：A-

π

6

=

π

6

，所以A=

π

3

．
（Ⅱ）由（I）得：cosA=

1

2

．
所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

．
因为x∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sinx∈[-

1

2

，1]．
因此当sinx=

1

2

时，f（x）有最大值

3

2

；
当sinx=-

1

2

时，f（x）有最小值-

1

2

．
所以：函数f（x）的值域为：[-

1

2

，

3

2

]．