题目
题型:不详难度:来源:
(1)求线段长的最小值;
(2)若以为圆心所作的圆与曲线有公共点,试求半径取最小值时圆的标准方程.
答案
解析
试题分析:本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用向量的点乘求出点的轨迹方程,数形结合找出,所以,然后配方法求最值;第二问,利用两圆的位置关系列出不等式,用配方法求最值,得到圆心和半径,写出圆的标准方程.
试题解析:(Ⅰ)设,则,
∴,
即点轨迹(曲线)方程为,即曲线是. 2分
连∵为切点,,由勾股定理有:.
又由已知,故.
即:,
化简得实数间满足的等量关系为:,即.(4分)
∴=,
故当时,即线段长的最小值为 7分
(另法)由点在直线:上.
∴,即求点到直线的距离.
∴(7分)
(Ⅱ)设的半径为,∵与有公共点,的半径为1,
即且. 8分
而, 9分
故当时,. 10分
此时,. 11分
得半径取最小值时的标准方程为. 13分
(另法)与有公共点,半径最小时为与外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1,圆心为过原点与垂直的直线与的交点.
.
又,(10分)
解方程组,得.即,
∴所求标准方程为.(13分)
核心考点
试题【已知点,曲线上的动点满足,定点,由曲线外一点向曲线引切线,切点为,且满足.(1)求线段长的最小值;(2)若以为圆心所作的圆与曲线有公共点,试求半径取最小值时圆的】;主要考察你对平面向量应用举例等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)设为圆上的一个动点,若点,,求的最小值;
(2)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
(1)求证:与互相垂直;
(2)若与大小相等,求.
(1)求在区间上的零点;
(2)在中,角的对边分别是,且满足,求的取值范围.
(1)求的值;
(2)将函数图象上各点的横坐标变为原来的的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在上的最大值和最小值.
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