题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北

已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，α∈[

π

2

，π]，求sin(2α+

π

3

)的值．

答案

由已知得：（3sinα+2cosα）（2sinα-cosα）=0⇔3sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0
由已知条件可知cosα≠0，所以α≠

π

2

，即α∈(

π

2

，π)．于是tanα＜0，∴tanα=-

2

3

．
sin(2α+

π

3

)=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=sinαcosα+

3

2

(cos2α-sin2α)
=

sinαcosα

cos2α+sin2α

+

3

2

×

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

tanα

1+tan2α

+

3

2

×

1-tan2α

1+tan2α

.
将tanα=-

2

3

代入上式得
sin(2α+

π

3

)=-

(- 2 3 )

1+(- 2 3 )2

+

3

2

×

1-(- 2 3 )2

1+(- 2 3 )2

=-

6

13

+

5

26

3

．即为所求．