已知函数f（x）=cos2x+4sin2x+2cosx．（Ⅰ）求f(π3)的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=cos2x+4sin²x+2cosx．
（Ⅰ）求f(

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．

答案

（Ⅰ）f(

)=cos

π+4sin2

+2cos

+4×

+2×

（Ⅱ）f（x）=cos2x+4sin²x+2cosx=2cos²x-1+4-4cos²x+2cosx
=-2cos²x+2cosx+3=-2(cosx-

)2+

，
f（x）的最大值为

，最小值为-1

核心考点

试题【已知函数f（x）=cos2x+4sin2x+2cosx．（Ⅰ）求f(π3)的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．】；主要考察你对已知三角函数值求角等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知：tan（α+β）=2tanβ，求证：3sinα=sin（α+2β）．

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已知函数f（x）=2cos²x+2

sinxcosx
①求函数f（x）的最小正周期；
②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．

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已知函数f（x）=sin（ x+

）+sin（x-

）+cosx+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求使f （x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若 x∈[0，π]，求函数的值域．

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化简求值
①tan70°cos10°(

tan20°-1)
②已知sin(α+

)+sinα=-

，(-

＜α＜0)，求cosα的值．

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由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin³x；
（II）请求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos³x-3cosx，求出sin18°的值．

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