题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx
①求函数f（x）的最小正周期；
②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．

答案

①由已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx
=cos2x+1+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π                            …（6分）
②由①知f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=2，即sin(2C+

π

6

)=

1

2

又0＜C＜π
∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13π

6

∴2C+

π

6

=

5π

6

∴C=

π

3

∴S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

(

a+b

2

)2=

3

当且仅当a=b时，Smax=

3

                     …（12分）