题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=sin（ x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求使f （x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若 x∈[0，π]，求函数的值域．

答案

（1）函数f （x）=sin（ x+

π

6

）+sin （x-

π

6

）+cosx+a=

3

sinx+cosx+a=2sin（ x+

π

6

）+a，
由最大值为2+a=1，解得 a=-1．                                        
（2）由f （x）≥0得2sin（ x+

π

6

）+a≥0，即 sin（ x+

π

6

）≥

1

2

，
∴2kπ+

π

2

≥x+

π

6

≥2kπ+

π

6

，故解集为 {x|2kπ≤x≤2kπ+

2π

3

}，k∈Z．    
（3）∵x∈[0，π]，
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（ x+

π

6

）≤1，
∴-2≤2sin（ x+

π

6

）-1≤1，
故函数f （x）=2sin（ x+

π

6

）-1 的值域为：[-2，1]．