题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x₀(0≤x0≤

π

2

)为f（x）的一个零点，求sin2x₀的值．

答案

（1）易得f(x)=sin2x+

3

sin2x+

1

2

(sin2x-cosx2)=

1-cos2x

2

+

3

sin2x-

1

2

cos2x=

3

sin2x-cos2x+

1

2

=2sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
所以f（x）周期π，值域为[-

3

2

，

5

2

]；
（2）由f(x0)=2sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=0，得sin(2x0-

π

6

)=-

1

4

＜0，
又由0≤x0≤

π

2

得-

π

6

≤2x0-

π

6

≤

5π

6

，
所以-

π

6

≤2x0-

π

6

≤0，故cos(2x0-

π

6

)=

15

4

，
此时，sin2x0=sin[(2x0-

π

6

)+

π

6

]=sin(2x0-

π

6

)cos

π

6

+cos(2x0-

π

6

)sin

π

6

=-

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 - 3

8

．