题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π，x∈R） f（x）=Asin（x+φ）的最大值是2，其图象经过点M（

π

3

，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈（0，

π

2

），且f（α）=

6

5

，f（β）=

24

13

，求f（α-β）的值．

答案

（1）因为函数的最大值为2，∴A=2…．（1分）∵f（x）的图象经过点M（

π

3

，1）
∴2sin（

π

3

+φ）=1，sin（

π

3

+φ）=

1

2

…（3分）
因为0＜φ＜π，

π

3

＜

π

3

+φ＜

4π

3

，

π

3

+φ=

5π

6

，φ=

π

2

…（5分）
∴f（x）=2sin（x+

π

2

）=2cosx．…（6分）．
（2）因为f（α）=2cosα=

6

5

，f（β）=2cosβ=

24

13

，…（7分）
∵f(β)=2cosβ=

24

13

，∴cosβ=

12

13

…（8分）
因为α，β∈（0，

π

2

），∴sinα=

4

5

，sinβ=

5

13

…（10分）
∴f（α-β）=2cos（α-β）=2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2（

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

）=

112

65

…（12分）．