题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab
（2）sinA=2cosBsinC
（3）b=acosC，c=acosB
（4）2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题______．

答案

由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，变形得：
a²+b²+2ab-c²=3ab，即a²+b²-c²=ab，
则cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，又C为三角形的内角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
则A=B=C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，
代入2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB得：
2R•（

a2

4R2

-

c2

4R2

）=（

2

a-b）•

b

2R

，
整理得：a²-b²=

2

ab-b²，即a²=

2

ab，
∴a=

2

b，
∴a²=2b²，又b²+c²=2b²，
∴a²=b²+c²，
∴∠A=90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，
代入2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB得：
2R•（

a2

4R2

-

c2

4R2

）=（

2

a-b）•

b

2R

，
整理得：a²-b²=

2

ab-b²，即a²=

2

ab，
∴a=

2

b，
∴a²=2b²，又b²+c²=2b²，
∴a²=b²+c²，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴

sinB

cosC

=

sinC

cosB

，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B=2C，即B=C，
则三角形为等腰直角三角形．
故答案为：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙