题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

m

=（sinB，1-cosB），向量

n

=（2，0），且

m

与

n

的夹角为

π

3

，

m

•

n

=1其中A，B，C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

答案

（1）∵

m

=（sinB，1-cosB）与向量

n

=（2，0）所成角为

π

3

，
∴

m

•

n

=2sinB=

sin2B+(1-cosB)2

×2×cos

π

3

，
∴

3

sinB+cosB=1，
即sin(B+

π

6

)=

1

2

又∵0＜B＜π，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

7π

6

∴B+

π

6

=

5π

6

∴B=

2π

3

；
（2）由（1）知，B=

2π

3

，
∴A+C=

π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(A+

π

3

)
∵0＜A＜

π

3

，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴sinA+sinC∈(

3

2

，1]．