题目

题型：天津难度：来源：

已知函数f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

答案

（Ⅰ）f(x)=2•

1+cos2ωx

2

+sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=

2

(sin2ωxcos

π

4

+cos2ωxsin

π

4

)+2
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2
由题设，函数f（x）的最小正周期是

π

2

，可得

2π

2ω

=

π

2

，所以ω=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2．
当4x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

π

16

+

kπ

2

(k∈Z)时，sin(4x+

π

4

)取得最大值1，
所以函数f（x）的最大值是2+

2

，此时x的集合为{x|x=

π

16

+

kπ

2

，k∈Z}．