题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

m

=(cosx，sinx)，

n

=(cosx，cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

（I）求f（x）的解析式，并求最小正周期；
（II）若函数g（x）的图象是由函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值时x的值．

答案

（I）∵向量

m

=(cosx，sinx)，

n

=(cosx，cosx)，
∴函数f(x)=

m

•

n

=cos²x+sinxcosx=

1

2

（1+cos2x）+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

即f（x）的解析式为y=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，最小正周期为T=

2π

2

=π；
（II）将f（x）的图象向右平移

π

8

个单位，得到y=f（x-

π

8

）=

2

2

sin[2（x-

π

8

）+

π

4

]+

1

2

，
即y=

2

2

sin2x+

1

2

的图象，因此g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

令2x=

π

2

+2kπ（k∈Z），得x=

π

4

+kπ（k∈Z）
∴当x=

π

4

+kπ（k∈Z），g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

取得最大值

2

2

+

1

2

即[g（x）]_max=

2

2

+

1

2

，相应的x=

π

4

+kπ（k∈Z）