题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问: 工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.

答案

矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R².

解析

如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则∠
QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，，
∴PQ=Rsin(45°－θ).
S_矩形MNPQ=QP·NP=R²sinθsin(45°－θ)
=R²·［cos(2θ－45°)－］≤R²，
当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S_矩形MNPQ的值最大且最大值为R².
工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R².