题目

题型：不详难度：来源：

已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)判断其单调性，并加以证明；
(3)求这个函数的值域.

答案

(1),定义域为(，)∪(，1］ (2) f(x)在(,)和(，1上都是减函数,(3) f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞

解析

(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x²－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］.
(2)设x₁＜x₂，
∴f(x₂)－f(x₁)==，
若x₁，x₂∈()，则4x₁²－3＜0，4x₂²－3＜0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0
即f(x₂)＜f(x₁)，若x₁，x₂∈(，1］，则4x₁²－3＞0.
4x₂²－3＞0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0.
即f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数.
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞.