题目

题型：填空题难度：一般来源：贵溪市模拟

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N⁺），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N⁺）叫做幸运数，则k∈[1，2011]内所有的幸运数的和为______．

答案

a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

（n∈N⁺），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2）
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N⁺），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026  （2¹¹-2＞2011）
故答案为2026．