题目

题型：解答题难度：一般来源：汕头二模

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

答案

（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0时，x=12，
∴当0＜x＜12时，
P′（x）＞0，当x＞12时，P′（x）＜0，
∴x=12时，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
（3）MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．
所以，当x≥1时，MP（x）单调递减，
所以单调减区间为[1，19]，且x∈N^*．
MP（x）是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少．