题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

研究函数f(x)=(

1

2

)x+(

2

3

)x+(

5

6

)x的单调性，并求解方程：3^x+4^x+5^x=6^x．

答案

∵0＜

1

2

＜1，0＜

2

3

＜1，0＜

5

6

＜1，
∴y=(

1

2

)x、y=(

2

3

)x、y=(

5

6

)x 都是减函数，故 f(x)=(

1

2

)x+(

2

3

)x+(

5

6

)x在其定义域
内是减函数．
∵x=3时，3^x+4^x+5^x=216，6³=216，令 y（x）=3^x+4^x+5^x-6^x，
由y（x）的导数大于0知，y（x）是一个增函数，y（2）=50-36＞0，y（4）=962-1296＜0，
 故 3^x+4^x+5^x=6^x  的解是 x=3．