题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．授课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59                            (10＜x≤16) -2x+91                 (16＜x≤40)

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？这个强度可以持续多长时间？
（2）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完？

答案

（1）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
为开口向下的二次函数，对称轴为x=13
故f（x）的最大值为f（10）=59
当10＜x≤16时，f（x）=59
当x＞16时，f（x）=-2x+91为减函数，且f（x）＜59
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（5分）
（2）∵当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
∴f（5）=-0.1×5²+2.6×5+43=53.5；
∵当x＞16时，f（x）=-2x+91，
∴f（20）=51．
故开讲20分钟时学生的接受能力比开讲5分钟时要弱一些．（8分）
（3）令f（x）=55解得x=6或x=18，
且当6≤x≤18时，f（x）≥55
因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为18-6=12＜13，
故老师能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．（12分）．